Лекция

Лекция на тему Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

Работа добавлена на сайт bumli.ru: 2013-11-09
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), axb, и имеет плотность 1) = (x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди­натных осей Ox и Oy равны

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис­ляются по формулам

а координаты центра масс  и  — по формулам

где l— масса дуги, т. е.

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0x1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
◄ Имеем: Следовательно,
 ►
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем:
Отсюда получаем:

В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду­ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
 Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вок­руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C .
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает­ся формулой  (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

то имеем:
 ►
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в беско­нечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на от­резке [а, Ь], выражается интегралом

1. Курсовая Прикладные аспекты оценки ценных бумаг как финансовых активов и инструментов финансирования
2. Курсовая на тему Современные информационные системы управления государством
3. Реферат Основы контрольно-ревизионной работы
4. Реферат Норманская и Антинорманская теория 2
5. Курсовая Производительность труда и определение роли и значения ее повышения
6. Реферат на тему Playwrights Aeschylus Sophocles And Euripides Essay Research
7. Реферат История изобретения паровых машин
8. Реферат на тему Hell Description Essay Research Paper Everything beyond
9. Контрольная работа Влияние образа жизни на здоровье. Влияние условий окружающей среды на здоровье
10. Реферат Искусство управлять временем