Задача

Задача на тему Интересные примеры в метрических пространствах

Работа добавлена на сайт bumli.ru: 2013-10-26
Интересные примеры
в метрических пространствах:
 
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
1.              Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
                                           е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
                                           …………………………,
                                           еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
                                           ………………………….

Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2.              Рассмотрим в l2 множество П точек
                                    x=(x1, x2, ¼, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
                           | x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
                      r(x,x*)= £ <1/2n-1<e/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это.
Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.
                                   "xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим
                           x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2.
                                      Тогда:                                                   r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.
                              Множество П* содержит точки вида                             x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.

1. Контрольная_работа на тему Форма ее назначение и структура Создание формы
2. Реферат на тему State Of Nature Essay Research Paper Robbie
3. Реферат Расходы бюджета РФ и РБ
4. Реферат Современные новорыночные механизмы регулирования экономики страны
5. Реферат Регулирование института Уполномоченного по правам человека в России
6. Реферат Битва при Клокотнице
7. Реферат на тему Summer Of 42 Essay Research Paper he
8. Реферат на тему Privacy Consumers And The Internet Essay Research
9. Реферат Антикризисное управление предприятием 10
10. Сочинение на тему Как труд помогает раскрыть содержание романа Робинзон Крузо